Cara Mencari Determinan Matriks 3 x 3, Pahami Rumus dan Pembahasannya

Determinan merupakan suatu nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Sedangkan matriks persegi sendiri adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, jika digambarkan matriksnya dapat membentuk bangun yang mirip dengan persegi. Dari sini dapat diketahui bahwa, jika jumlah baris dan kolom tidak sama, maka tidak bisa dicari determinannya.

Yang akan dibahas pada kesempatan ini adalah cara mencari determinan matriks 3x3. Determinan matriks 3x3 merupakan matriks yang memiliki 3 baris dan 3 kolom. Berikut adalah cara untuk menghitung determinan matriks 3x3: Dalam menghitung atau menentukan nilai determinan matriks 3x3 ada 2 cara. Simak di bawah ini:

1. Rumus Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus
Mencari yang determinan matriks 3×3, bisa menggunakan beberapa metode, seperti Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor.

Pertama, yang dibahas ini adalah dengan menggunakan Metode Sarrus. Metode ini hanya bisa digunakan pada determinan matriks 3×3, jadi selain itu tidak bisa diaplikasikan pada metode yang satu ini.

Misalnya, ada matriks A berordo 3×3 sebagai berikut:

Berapakah determinan matriks A? Berikut uraian caranya:

- Langkah pertama, tulis lagi elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A
- Lalu, kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai pola (perhatikan pola warna dan tandanya)

det(A) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

Agar semakin mudah memahami, langsung cemplungin angka-angkanya:

det(A) = 1.1.2 + 2.4.3 + 3.2.1 – 3.1.3 – 1.4.1 – 2.2.2 = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11

Jadi, determinan matriks A adalah 11.

2. Rumus Determinan Matriks 3×3 Minor Kofaktor
Metode lain untuk mencari nilai dari determinan matriks 3x3, yaitu Metode Minor-Kofaktor. Rumus umum yang berlaku pada metode kofaktor terdapat dalam sebuah teorema yang telah terbukti kebenarannya.

Bunyi dari teorema untuk nilai determinan matriks persegi berordo n terdapat seperti pernyataan berikut.

Teorema: Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
Atau

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Dari teorema di atas disinggung kofaktor yang definisinya diberikan seperti berikut.

Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Kofaktor entri aij dinyatakan dalam persamaan Cij = (–1)i+jMij

Untuk mempermudan pemahaman, perhatikan bagaiaman menentukan minor entri aij dan kofaktor entri aij pada matriks A berikut.

Dari matriks A di atas, buang elemen Aij, maksudnya adalah matriks A elemen ke-ij. Misalkan mau memilih A12, berarti harus buang baris ke-1 dan kolom ke-2.

Coba perhatikan gambar di bawah ini:

Adapun cara lainnya yang bisa dicoba, apabila ingin menggunakan cara lain selain di atas:

Dari gambar di atas, ada yang namanya minor dan kofaktor. Minor (M) adalah determinan dari matriks yang beberapa elemennya udah dibuang. Sedangkan, kofaktor (C atau K) memiliki rumus min 1 pangkat elemen i + j dikalikan dengan minornya >> (-1)i+jMij.

Agar semakin mudah memahami, langsung cemplungin angka-angkanya:

det(A) = 1(-2) – 2(-8) + 3(-1) = -2 + 16 -3 = 11

Jadi, determinan dari matriks A adalah 11.

(alvain shinta/n)