Cara Mencari Log, Lengkap Penjelasan, Rumus dan Contohnya

Log atau Logaritma menjadi sebuah operasi  bilangan matematika yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan pengembangan teknologi. Beberapa contohnya adalah membantu untuk menghitung laju jumlah penduduk, membantu menghitung kondisi keuangan, digunakan dalam alat pengukur kekuatan gempa dan masih banyak lagi.

Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang cara mencari Log atau Logaritma. Artikel ini lengkap memuat sejarah, pejelasan dasar, sifat, rumus dan juga contohnya.

Sejarah Logaritma (Log)

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai metode yang mempermudah perhitungan. Logaritma membatu memudahkan dalam kegiatan navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya dengan perhitungan nilai yang sangat akurat.

John Napier merupakan seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris. John Napier mengemukakan metode logaritma dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio pada tahun 1614. Kata logaritma yang diciptakan oleh Napier berasal dari bahasa Latin Tengah, “logaritmus” yang artinya “rasio-bilangan,” dengan pecahan kata dari bahasa Yunani logos “proporsi, rasio, kata” dan arithmos “bilangan”. 

Berkat penemuan Logaritma oleh John Napier para ilmuwan merasa sangat terkesan dan dimudahkan karena dapat mengerjakan dan menyelesaikan operasi hitung perkalian dan pembagian yang sulit dengan lebih mudah dan cepat. Napier meninggal pada tahun 1617 dan semasa hidupnya dihabiskan untuk mempelajari dan mendalami ilmu matematika.

Pengertian Logaritma (Log)

Logaritma (Log) adalah kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan. Secara sederhana, logaritma dapat diartikan sebagai suatu invers atau kebalikan dari pemangkatan yang digunakan dalam menentukan besaran pangkat pada sebuah bilangan pokok.

Jika diketahui suatu perpangkatan 

aᶜ = b

maka bentuk tersebut dapat dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi

b = c atau ᵃlog b = c

dengan a > 0 dan a ≠ 1.

Keterangan:

a = basis logaritma

b = bilangan yang dicari nilai logaritmanya (numerus)

c = besar pangkat/nilai logaritma

Sebagai contoh, misalkan diberikan ²log 8 = c maka c = 3, karena 2³ = 8

Sifat Logaritma (Log)

Logaritma memiliki beberapa sifat yang akan dapat membantu kamu untuk lenyelesaikan soal-soal terkait logaritma. berikut ini adalah sifat-sifat Logaritma:

- Sifat logaritma dasar: yaitu suatu bilangan yang dipangkatkan dengan angka 1, maka hasilnya akan tetap sama seperti yang sebelumnya.

- Sifat logaritma koefisien: yaitu ketika sebuah angka memiliki pangkat. Maka pangkat dari basis atau biasa disebut numerus sebagai koefisien dari logaritma.

- Sifat logaritma akan berbanding terbalik: yaitu suatu sifat yang mempunyai prasyarat berupa logaritma yang berbanding terbalik antara basis terhadap numerus.

- Sifat perpangkatan logaritma: adalah suatu bilangan yang dipangkatkan dengan logaritma yang mempunyai basis sama, maka hasilnya akan berupa suatu numerus dari logaritma itu sendiri.

- Sifat Penjumlahan dan pengurangan merupakan logaritma yang dapat dijumlahkan dengan logaritma lainnya yang mempunyai basis yang serupa.

- Sifat perkalian dan juga pembagian logaritma: adalah dua buah logaritma yang disederhanakan. Sebab keduanya mempunyai numerus yang serupa.

- Sifat logaritma numerus terbalik: maka logaritma bisa mempunyai nilai yang serupa dengan logaritma lainnya. Bila numerus menggunakan pecahan terbalik.

Selain itu, terdapat sejumlah sifat logaritma lainnya, yang penting untuk kamu ketahui, yaitu:

- a log a = 1
- a log 1 = 0
- a^nlog bm = (m/n) x a log b
- a^mlog bm = a log b
- a log b = 1/b log a
- a log b = (klog b) / (klog a)
- a(a log b) = b
- a log b + a log c = a log (bc)
- a log b – a log c = a log (b/c)
- a log b . b log c = a log c
- a log (b/c) = – a log (c/b)

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma
Menyelesaikan persamaan logaritma dapat diselesaikan dengan cara menyamakan suatu bilangan pokoknya. Berikut adalah teknik menghitungnya, antara lain:

» a log f(x) = 8 log g(x), Caranya yaitu:

f(x) = g(x)
f(x) > 0
g(x) > 0

Pertidaksamaan Logaritma
Berikut ini adalah langkah penyelesaian pertidaksamaan logaritma:

a log f(x) ≥ a log g(x)

Untuk bilangan pokok: 0 < a < 1 f(x) ≤ g(x) f(x) > 0
g(x) > 0

Untuk bilangan pokok:
a>1

f(x) ≥ g(x)
f(x) > 0
g(x) > 0

Contoh Cara Mencari Logaritma (Log)

Contoh Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)

3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½

3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)

3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72) ½

3log 245 ½ = ½ ( 3log 5 + 3log 7)

3log 245 ½ = ½ (x + y)

Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah ½ (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2
Jika b = a⁴, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – b log a adalah …?

Diketahui bahwa b = a⁴, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

a log b – b log a = a log a⁴  – a⁴ log a

a log b – b log a = 4 (alog a) – 1/4 ( alog a)

a log b – b log a = 4 – 1/4

a log b – b log a = 3³/₄

Jadi, nilai dari a log b – b log a pada soal tersebut adalah 3 ³/₄

(m. taufik naufal/nf)